这是一篇转载文章。Bézier curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962 年，法国数学家 Pierre Bézier 第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。

1 抛物线三切线定理

设 $P_0$，$P_0^2$，$P_2$ 是一跳抛物线上顺序不同的三个点。过 $P_0$ 和 $P2$ 的切线交于 $P_1$。过 $P_0^2$ 的切线交 $P_0{P}_1$ 和 $P_2{P}_1$ 相交于 $P_0^1$ 和 $P_1^1$，则有如下比例成立：

$$\begin{array}{}\frac{P\ast 0P\ast 0^1}{P\ast 0^{1}P\ast 1}=\frac{P\ast 1P\ast 1^1}{P\ast 1^{1}P\ast 2}=\frac{P\ast 0^{1}P\ast 0^2}{P\ast 0^{2}P\ast 1^1}& \text{(1)}\end{array}$$

此即为抛物线的三切线定理。

2 二次贝塞尔曲线

当 $P_0$，$P_2$ 固定时，引入参数 $t$ ，令上述比例值为 $t:(1-t)$，即有：

$$\begin{array}{}\begin{array}{c}P\ast 0^1=(1-t)P\ast 0+tP\ast 1\\ P\ast 1^1=(1-t)P\ast 1+tP\ast 2\\ P\ast 0^2=(1-t)P\ast 0^1+tP\_1^1\end{array}& \text{(2)}\end{array}$$

将第一，二个式子代入第三个有：

$$\begin{array}{}P\ast 0^2=(1-t{)}^{2}P\ast 0+2t(1-t)P\ast 1+t^{2}P\ast 2& \text{(3)}\end{array}$$

当 $t$ 从 0 变到 1 时，$P_0^2$ 点经过的轨迹即为上图中的抛物线，也即为由三顶点 $P_0$, $P_1$, $P_2$ 决定的一条二次贝塞尔曲线。也可以认为这条二次贝塞尔曲线是由两个前顶点 $(P_0,P_1)$ 以及两个后顶点 $(P_1,P_2)$ 决定的。

3 更高阶的贝塞尔曲线

类似于二次贝塞尔曲线的推导过程，我们可以推广到更高阶的贝塞尔曲线。

由四个控制点定义的三次 Bezier 曲线 $P_0^3$ 可被定义为分别由 $(P_0,P_1,P_2)$ 和 $(P_1,P_2,P_3)$ 确定的二条二次 Bezier 曲线的线性组合，由 $(n+1)$ 个控制点 $P_i(i=0,1,...,n)$ 定义的 n 次 Bezier 曲线 $P_0^n$ 可被定义为分别由前、后 $n$ 个控制点定义的两条 $(n-1)$ 次 Bezier 曲线 $P_0^{n-1}$ 与 $P+0^{n-1}$ 的线性组合：

$$\begin{array}{}P\ast 0^n=(1-t)P\ast 0^{n-1}+tP\_1^{n-1}t\in [0,1]& \text{(4)}\end{array}$$

由此可以得到 Bezier 曲线的踢腿计算公式

$$\begin{array}{}P\ast i^k=\{\begin{array}{cc}P\ast i& k=0\\ (1-t)P\ast i^{k-1}+tP\ast {i+1}^{k-1}& k=1,2,\cdots ,n,i=0,1,\cdots ,n-k\end{array}& \text{(5)}\end{array}$$

这就是 de Castelijau 算法。

4 贝塞尔曲线原理动图